ここで、電束密度 $\bm{D}$は次のように表されます： $\bm{D} = \epsilon_0 \bm{E} + \bm{P}$
$\nabla$は、空間における微分操作を表すベクトル微分演算子です．
ファラデーの法則の両辺に $\nabla \times$ を作用させます： $\nabla \times (\nabla \times\bm{E}) = -\nabla \times \frac{\partial \bm{B}}{\partial t}$
右辺の演算子の順番を入れ替えます： $\nabla \times (\nabla \times\bm{E}) = -\frac{\partial}{\partial t} (\nabla \times\bm{B})$
アンペール-マクスウェルの法則を使用して $\nabla \times \bm{B}$ を置き換えます： $\nabla \times (\nabla \times \bm{E}) = -\frac{\partial}{\partial t} \left( \mu_0 \bm{J}_f + \mu_0 \epsilon \frac{\partial \bm{E}}{\partial t} \right)$
自由電流 $\bm{J}_f = 0$ を仮定すると、式は次のように簡略化されます： $\nabla \times (\nabla \times \bm{E}) = -\mu_0 \epsilon\frac{\partial^2 \bm{E}}{\partial t^2}$
次に、ベクトル恒等式を使用します： $\nabla \times (\nabla \times \bm{E}) = \nabla (\nabla \cdot \bm{E}) - \nabla^2 \bm{E}$
ガウスの法則から、電場の発散は電荷密度に比例します。電荷密度が存在しない場合$\rho = 0$，一様媒質を仮定すると$\nabla \cdot \bm{E} = 0$となります。よって、上記の式は次のように簡略化されます： $\nabla \times (\nabla \times \bm{E}) = -\nabla^2\bm{E}$
これを使うと、以下のようになります： $-\nabla^2 \bm{E} = -\mu_0 \epsilon \frac{\partial^2 \bm{E}}{\partial t^2}$
$\nabla^2 \bm{E}- \mu_0 \epsilon \frac{\partial^2 \bm{E}}{\partial t^2} = 0$